Projective Variety

释义 Definition

射影簇（projective variety）：代数几何中的基本对象，指嵌入在射影空间（如 \(\mathbb{P}^n\)）里的代数簇，通常可以理解为由一组齐次多项式方程在射影空间中的公共零点集合（并满足相应的“良好性”条件，如不可约/既约等，视语境而定）。它把“无穷远点”自然纳入几何中，便于处理交点与紧致性类比等问题。

发音 Pronunciation (IPA)

/prəˈdʒɛk.tɪv vəˈraɪ.ə.ti/

例句 Examples

A projective variety can be defined by homogeneous polynomials.
射影簇可以用齐次多项式来定义。

In algebraic geometry, studying a projective variety often involves line bundles, divisors, and intersection theory on \(\mathbb{P}^n\).
在代数几何中，研究射影簇常常会涉及线丛、除子以及在 \(\mathbb{P}^n\) 上的交叉理论。

词源 Etymology

projective 来自 project（“投射”）的概念延伸：在数学里指与射影几何/射影空间相关的结构；variety 在普通英语中是“多样性”，在数学中则专门化为“（代数）簇”，指由多项式方程刻画的几何对象。合在一起，projective variety 就是“位于射影空间中的代数簇”。

相关词 Related Words

• Algebraic Geometry
• Projective Space
• Affine Variety
• Algebraic Curve
• Divisor
• Line Bundle
• Homogeneous Polynomial
• Intersection Theory

文学与经典作品 Literary & Notable Works

• Algebraic Geometry — Robin Hartshorne（经典教材中大量使用“projective variety”作为核心对象）
• Principles of Algebraic Geometry — Phillip Griffiths & Joseph Harris（在讨论射影嵌入、线丛与除子时频繁出现）
• The Red Book of Varieties and Schemes — David Mumford（围绕簇与概形的入门与参考中常见）
• Basic Algebraic Geometry — Igor Shafarevich（以几何直观方式介绍射影簇等概念）
• The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry — Ravi Vakil（讲义中广泛讨论射影簇与相关工具）